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concerne les conrhes Mm, W)}i\\\ suffît de les prendre dnns la po- 

 silion où elles se confondent , en même temps, Tune avec le jjoint 

 0, l'autre avec le point 0'. Cette simple remarque permet de 

 poser, dès à présent, la déduction suivante * : 



A" Lorsque deux surfaces ont même courbure en leurs points 

 conjugués, les arcs conjugués, pris sur les trajectoires orthogo- 

 nales des lignes géodésiques , ont même longueur et, pour chacun 

 de leurs points conjugués , même courbure géodésique. 



Cet énoncé s'étend en quelque sorte de lui-même à tous les 

 arcs qui sont conjugués entre eux sur les deux surfaces que l'on 

 considère. Soient, en effet, mn, m'n' deux arcs quelconques con- 

 jugués et situés respectivement l'un sur la surface A, l'autre sur 

 la surface A'. Imaginons que ces deux arcs soient décrits simulta- 

 nément, le premier par un point // animé d'une vitesse constante, 

 le second par un point fx' assujetti à prendre à chaque instant sur 

 l'arc m'n la position conjuguée avec celle que le point y. occupe 

 à ce même instant sur l'arc mn. Pour que cette condition soit rem- 

 plie, il faut, d'après ce qui précède, que les vitesses simultanées 

 des points f/, [>.' aient mêmes composantes, d'une part, suivant les 

 lignes géodésiques 0^, OV? d'autre part, suivant les trajectoires 

 orthogonales de ces lignes. Il faut donc aussi que ces mêmes 

 vitesses soient égales. Il suit de la que les arcs conjugués mn, m'n' 

 sont égaux entre eux et qu'ils coupent sous un même angle les 

 lignes géodésiques conjuguées qui leur correspondent respectiv<^ 

 ment de part et d'autre. 



Ces dernières déductions impliquent évidemment la réciproque 

 qu'il s'agissait d'établir. On peut donc conclure en résumant 

 comme il suit les deux propositions fondamentales que nous avons 

 démontrées successivement : 



Pour que deux surfaces soient applicables l'une sur l'autre 



Si la rigueur de cette déduction devenait douteuse; sMl arrivait, par 

 exemple, que l'un des points 0, 0' ne satisfît pas à la condition générale de 

 ne comporter qu'un seul plan tangent, on pourrait s'en tenir à la donnée pre- 

 mière, et maintenir, comme devant être réalisée, la supposition faite en ce qui 

 concerne régnlité de longueur et de courbure géodésicpie des arcs Mm, M'm'. 



