Occupoiis-iious d'abord des arcs dans l'espace. Nous traiterons 

 ensuite des aires et des volumes. 



Différentielle et recti/lcation iVun arc quelconque. 



247. Soit S une ligne à simple ou double courbure. Rapportons-la 

 d'abord à des axes coordonnés rectangulaires OX , OY, OZ. 



Désignons par m un point mobile assujetti à décrire la ligne S et 

 sortant du lieu qu'il occupe à l'instant que l'on considère. 



La vitesse actuelle du point m étant représentée par ih , elle 

 est dirigée suivant la tangente à la ligne décrite et a pour compo- 

 santes orthogonales les vitesses dx, dy, dz respectivement paral- 

 lèles aux axes OX , OY, OZ. On peut écrire, en conséquence, 



(i) ds^=dx'-^df-\^dz\ 



De là résulte 



et, par suite, 



Les équations (2) et (ô) résolvent la question proposée, en ce 

 qui concerne la différentielle dun arc quelconque et la rectifica- 

 tion de ce même are. S'il restait quelques doutes sur le sens et la 

 ])ortée de cette solution , on les dissiperait en se reportant aux 

 développements du n" 65, page 178. Il est, d'ailleurs, aisé de voir 

 comment la formule (3) se prête aux différents cas d'application, 

 soit que Ton considère séparément et successivement chacune des 

 ])arties où la différence àz ne change point de signe, soit qu'on 

 prenne pour sz la sonnne des valeurs absolues qui correspondent 

 rcApectivement à ces mêmes parties. 



