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qu'affertcnt en ce point les divers syslèines de lignes qu'on peut 

 tracer sur la surface. Parmi ces lignes les plus simples à considérer 

 sont celles qui résultent des intersections faites par les plans nor- 

 maux. On les désigne sous le nom de sections normales y et l'on dit 

 de deux surfaces qu'elles ont même courbure lorsqu'il en est ainsi 

 des sections normales qui se correspondent de part et d'autre sous 

 les mêmes inclinaisons relatives. S'agit-il de deux surfaces ayant un 

 point cojumun et, en ce point, même plan tangent? Si, de plus, 

 les sections normales faites en ce point par un même plan ont 

 toutes, deux à deux, même courbure , les surfaces dont il s'agit ont 

 entre elles un contact du second ordre, et il y a de part et d'autre 

 osculation complète. 



La question du contact du deuxième ordre entre deux surfaces 

 se trouvant ainsi ramenée à celle d'un contact du même ordre 

 entre deux systèmes de lignes déterminées, commençons par 

 établir une proposition dont nous aurons plus tard à faire usage. 



Lorsque deux courbes ont en un point commun [x, y, z) même 

 tangente, on [)eut identifier de part et d'autre les vitesses dx, r/y, 

 (h. Il suflil pour cela d'identifier leur résullante 



(1) (h^S/lh^^ dif-^-ii?'. 



Suppose-ton , en outre, qu'en ce point les deux courbes aient 

 même courbure? Il en résulte que les différentielles secondes dhr, 

 d^U, d^z s'identifient de part et d'autre comme celles du premier 

 ordre, et réciproquement. Soient, en effet, ^, S, ^Ics angles que 

 la tangente commune aux deux courbes fait avec les axes coor- 

 donnés ; on a , généralement , 



(2). . dx = da . cos « , dy= d<7 . cos ê , ^/^ = d^ . ces y , 



ce qui donne 



(3). d^x =^- r/V (OS a — dc.dc/i . sin a , d^y = d^a . cos G — dcdt, sin ê , 

 d'^z = d-a cos y — dcdy sin ? . 



