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tricL's rc'ctiligncs, touchent en même temps la sarfaec A le long 

 de la ligne S ; 



3" Les vitesses qui animent les différents points de la ligne S , 

 au sortir du lieu qu'elle occupe sur la surface A , sont toutes conte- 

 nues dans les plans tangents à la surface A'; 



4" On peut substituer la surface A' à la surface A , tout en 

 conservant à chacun des points de la ligne S sa vitesse actuelle. 



Mais, d'un autre côté, c'est uniquement des vitesses actuelles 

 des différents points de la ligne S que dépend la différentielle de 

 l'aire engendrée par cette ligne au sortir du lieu qu'elle occupe 

 sur la surface A. On peut donc aussi substituer la surface A' à la 

 surface A sans modifier en rien cette différentielle. 



Cela posé, développons sur un plan la surface A' et, après 

 avoir tracé sur ce plan la transformée S' de la ligne S, détermi- 

 nons la différentielle de l'aire engendrée par la ligne S', eu égard 

 aux vitesses que ses différents points conservent dans le dévelop- 

 pement. L'identité qui subsiste entre cette différentielle et la pré- 

 cédente montre suffisamment comment le cas général d'une aire 

 courbe est réductible à celui d'une aire plane. 



250. Le problème à résoudre, d'après ce qui précède, consiste 

 à déterminer la différentielle de l'aire engendrée par une ligne 

 plane S' qui se meut dans son plan , avec ou sans changement de 

 forme, et dont on connaît, pour chacun des points, la vitesse ac- 

 tuelle. On peut supposer, d'ailleurs, que cette vitesse est constam- 

 ment dirigée suivant la normale correspondante. Il suffit, pour 

 cela, qu'on se donne les trajectoires orthogonales des positions 

 successives de la ligne S sur la surface A et qu'on assujettisse 

 chacun des points de cette ligne à décrire celle de ces trajectoires 

 qui lui correspond. 



Soient MN le lien actuel de la ligne S' ; m un point de cette ligne ; 

 mo la tangente en ce point; me la normale; « la 

 vitesse du point w. 



On sait que la vitesse ^i , dirigée par hypothèse 

 suivant la normale cm , est dite , en génér^d, vitesse 

 de circulation. 



Représentons par dA la différcnlicllc cherchée 



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