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et. i)ar suite, 



• (l.{dA) = an .W. f/ [cm). 



Ou a, d'ailleurs, ainsi ({u'ii est aisé de le voir, 

 (l((w) =: u , cm . W =^ ds'. 



Ces valeurs substituées dans Téciuation précédente conduisent 

 au même résultat que les premiers calculs. 



La formule (1) implique, comme équivalent, la relation géné- 

 rale 



ou, ce qui revient au même, 



(:2) dA = s\MUi, 



les quantités dA et s' s'annulant toutes deux, en même temps, à 

 l'origine commune de leurs accroissements simultanés. 



Les équations (1) et (2) ne cessent pas de subsister lorsqu'on 

 revient de la transformée S' à la ligne S. On peut donc écrire gé- 

 néralement, d'une })art, 



(3) d{d\) = u.ds, 



cl d'autre part ^ 



(4) d\ = s.Mlti, 



Le tbéorèmc exprimé par l'équation (4) est général. On peut 

 l'énoncer comme il suit : 



L'aire engendrée jmr une ligne quelconque S qui se meut dans 

 l'espace, avec ou sans changement déforme, a pour différentielle 

 le produit de cette ligne par sa vitesse moyenne de circulation. 



Il est entendu que les facteurs de ce produit sont respective- 

 ment, l'un la longueur rectifiée de la génératrice S, Tautie la 



