moyenne des vitesses de circulation qui animent à la fois les diffé- 

 rents points de cette ligne. 



251. Reprenons la question générale des aires courbes et trai- 

 tons-la directement. 



Soient m un point d'une surface; P le plan tangent en ce point; 

 1 un contour quelconque fermé passant par le point m et circon- 

 scrivant sur la surface donnée une aire A. 



De même qu'en se rétrécissant d'une manière continue le con- 

 tour 2 peut décroître jusqu'à s'évanouir et faire évanouir avec lui 

 l'aire A, de même et inversement il peut prendre naissance à 

 partir de zéro, étant, d'abord, comme concentré tout entier dans 

 le lieu m. Plaçons-nous à ce dernier point de vue et concevons en 

 m une infinité de points mobiles, désignés par ,u et assujettis à for- 

 mer par leur ensemble le contour 2. La vitesse avec laquelle l'aire 

 A s'engendre à partir de zéro ne peut évidemment dépendre que 

 des vitesses qui animent respectivement et simultanément chacun 

 des points |7, au sortir du lieu m. Mais, d'un autre côté, ces vitesses 

 sont toutes dirigées et comprises dans le plan P. On voit donc 

 que tout se passe» à l'origine , comme s'il s'agissait de l'aire plane 

 circonscrite sur le plan P pnr la projection du contour 2. 



Par le point m menons dans le plan P deux droites rectangu- 

 Fig. 97. laires mt, ml. Soient p et q deux points pris, comme 



/ on veut, lun sur la droite ml, l'autre sur la droite 



ml. Achevons le rectangle mpnq et considérons-le 

 comme étî^^it la })rojection du contour 2 sur le plan 



. '^ P*. 



V.w désignant par A' l'aire du rectangle mpnq, on a, générale- 

 ment. 



A' = mp.mq. 



Supposons d'abord que le point q soit fixe et que le point p 

 glisse sur la droite ml avec la vitesse u. Si l'on prend, dans cette 

 hypothèse, la différentielle de l'aire A', il vient 



diV = u.mq. 



" Cela revient à dire qu'on détermine le contour 2 par la condition qu'il 

 ait jM^ur lutijeciiou sur le plan P le contour mpnq. 



