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Cela posé, on peut eonsidérer le volume V comme la somme 

 d'une suite de parallélipipèdes rectangles tous égaux entre eux et 

 représentés chacun par le produit dx. dy. dz, ou plus exactement 

 comme la limite de cette somme. 



Prenons, pour deux valeurs quelconques déterminées des va- 

 riables X cly, les parallélipipèdes qui se projettent sur la même base 

 dx. dy. Leur somme est égale au produit de cette base par la hau- 

 teur totale z. Exprimée par le produit 



(5) z.dx.dy , 



elle représente un des prismes compris dans la tranche qui cor- 

 respond à l'abscisse x et dont l'épaisseur est dx. Faisons la somme 

 de ces prismes. Elle donne la tranche et a, pour expression, le pro- 

 duit de l'accroissement de la variable par la valeur moyenne delà 

 fonction dérivée, c'est-à-dire 



(0) dX.Mj.^\'y^^'{z). 



Ajoutons toutes les tranches. Leur somme, considérée dans sa 

 limite aV, est le produit de l'accroissement total àx par la valeur 

 moyenne de la fonction dérivée ^y.^f,, ^"l^). H vient donc, en 

 dernier lieu , 



(7) ^\^^xMT"[^y^Ç''(i)■\. 



Le })rocédé que nous venons de suivre est, comme celui du 

 n** 275, tout à fait général. Si, après avoir subdivisé le volume V 

 en parallélipipèdes rectangles, on avait à multiplier chacune des 

 subdivisions par un facteur de la forme 



F(x ■+- x^Xy y -t- /^^y , ^h- v^^), 



les coordonnées x, y, z étant celles du point pris pour origine de 

 la subdivision considérée, il est visible qu'en désignant par P la 

 limile de la somme des pioduits obtenus, on aurait, comme lout 

 à l'heure, 



(8) dJyd.V = dx . dy . dz . F [x, y, z). 



