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IV. — Les trajectoires orthogonales qui, dans Ihypothèse des 

 équations (15), satisfont à léqnation (l'^), remplissent, en même 

 temps, cette autre condition : 



Étant données trois licjnes choisies , comme on veut, denx dans 

 l'un des systèmes, ta troisième dans l'ajntre, elles déterminent 

 une double suite de lignes qui découpent la surface A en quadri- 

 latères rectangles admettant tous pour diagonales les trajectoires 

 à 45" de ces mêmes lignes. 



On a, d'ailleurs et évidemment, ce corollaire : 



La propriété établie pour les lignes données s'étend d'elle- 

 même au double système orthogonal que forment entre elles leurs 

 trajectoires à 45". 



Revenons aux équations (12) et (13), les équations (13) se posant 

 à priori et devant, par hypothèse, impliquer l'équation (12). Si 



1, , , cos 9 cos â' , , ' 1 ' • , o 



Ion représente par , — 7-les courhures geodesiques qu af- 

 fectent en un point quelconque m les deux lignes orthogonales s 

 et / passant par ce point, on a, en général, d'après l'équation (2) 

 du n" 227, page 554, 



coso , , cosô' 



(14). . r].ds==±:ds.rn , d.rn=^±dS.rn 



p p 



De là résulte, en premier lieu , 



(l. rj, ds = ±:[ ds.d. rh ■+■ ^/ . d. ds ] zh ds. ^i;.. d , 



P P 



et, par suite, eu égard aux équations (i5) et (14), 



COSO ,, ('OS 6 , C0S9 coso' cos9 

 (1 5) d. ri ds = =b 2r/.s. d.ru zh dsKd = 2r/s" ~ • —7— =b ds\d 



P P P P P 



On trouverait de même 



, , cosO cose' COSÇl' 



( 1 6). . . o.d. ô-, =^ <^ds\ y~ dr ds-J — — • 



