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conditions plus simples, en traitant la question d'une manière 

 directe, d'après la marche tracée au n" 185 *"% ou selon les pro- 

 cédés d^s numéros ^2:24 et suivants. 



229. Considérons deux systèmes conjugués de trajectoires 

 orthogonales appartenant à une même surface A et proposons- 

 nous de rechercher les conditions à remplir pour qu'en prenant 

 dans chacun de ces systèmes deux lignes quelconques détermi- 

 nées, les segments interceptés sur ces lignes par celles de l'autre 

 système conservent entre eux un rapport constant. 



Soient MM', NN' deux lignes déterminées du premier s} slème 



... ^^ et iiin une ligne quelconque du second. Si l'on con- 



, sidère la surface A comme engendrée par le dépla- 



/ ^ cément continu de la ligne mn, il faut, par hypo- 



^ — ^^4 thèse, quil existe un raj)port constant entre la 



\ / vitesse v du point m sur la ligne MM' et la vitesse 



M ^ simultanée du point n sur la ligne NN'. 



Représentons [)ar // cette dernière vitesse et assujettissons le 



point m de la ligne ma à glisser (inlforminuenl sur la ligne MM'. 



On a 



(1). u = C.v, 



V étant une coiistante absolue et C une quanti(é indépendante de 

 la position du point m sur la ligne MM'. 



L'équation (1) subsiste en général. On peut lappliquer, en con- 

 séquence, au cas où la ligne NN' sort du lieu qu'elle occupe en 

 glissant sur la surface A. De là résulte, en différenciant, comme 

 au n" 224, par ra])port à la caractérislique c^\ 



(2) 'rhl = C'.l', 



la quantité C dérivant de la quantité C et restant, comme elle, 

 indépendante de la position du point m sur la ligne MM'. 



Sans rien changer à ce qui précède, appliquons l'équation (2) 

 au cas où la ligne NN', devenue mobile , sort du lieu MM'. On peut 

 remplacer u par v y et v par ds. 11 vient ainsi 



(5) 'j ,ds = C .(Is. 



