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et telle est l'équation de eondition qui doit être satisfaite, pour 

 qu'en prenant à volonté deux lignes du système 3IM', les seg- 

 ments interceptés sur ces lignes par deux quelconques de leurs tra" 

 jectoires orthogonales conservent entre eux nn rapport constant. 



Supposons que les lignes du système 3IM' soient toutes des 

 lignes géodésiques. L'équation (7) est satisfaite identiquement par 

 l'annulation simultanée de ses deux membres. Ce résultat s'accorde 

 avec le théorème de M. Gauss, démontré au n° 209, page oll. 



Supposons que chacune des lignes du système 3IM' soit d'égale 

 courbure géodésique. L'équation (7) ne peut subsister, en général, 

 que si les trajectoires de ces lignes sont elles-mêmes des lignes géo- 

 désiques. 



Revenons à la question proposée. Toutes choses égtdes de part 

 et d'autre, la réciprocité, qui subsiste, par hypothèse, entre les 

 deux systèmes considérés, permet d'écrire immédiatement, 

 comme conséquence de l'équation (7) , 



(8). . . 



Cette dernière équation résout la question proposée. On vérifie 

 aisément qu'elle subsiste pour le cas des surfaces de révolution 

 en prenant, pour double système de trajectoires orthogonales, les 

 méridiens et les parallèles. 



Si l'on voulait que la surface A pût se subdiviser en une suite 

 quelconque de quadrilatères, tous rectangles et équilatéraux, il 

 faudrait que l'on eût à la fois 



* On prendra garde aux signes dont les quanlités qui figurent dans cette 

 énualion doivent être affectées : ils dépendent du sens des déplacements que 

 l'on considère et de la convention généralement adoptée pour tenir compte du 

 sens des rotations. 



