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 par croître on par décroitre selon que les vitesses exprimées, pour 

 chacun de ses points, par <?.(ls sotit toutes positives ou toutes né- 

 gatives. 



II est un second théorème applicable au cas qui nous occupe. 

 Démontré plus loin, n" 2o0, il s'énonce comme il suit : 



Théorème i2. — Laire engendrée par une ligne S qui se meut 

 dans Vespace avec ou sans changement de forme a pour diffé- 

 rentielle le produit de cette ligne par sa vitesse moyenne de cir- 

 culation. 



Partons de ces prémisses et proposons-nous le problème sui- 

 vant : 



Trouver la ligne de longueur donnée qui circonscrit une aire 

 maximum sur la surface A, ou , ce qui revient au même, la ligne 

 de longueur minimum pour une aire circonscrite de grandeur 

 donnée. 



On voit à priori que la ligne cherchée ne peut avoir aucun 

 segment dont la courbure géodésique tourne sa convexité vers 

 l'intérieur de Taire circonscrite. Autrement, en effet, on pour- 

 rait augmenter cette aire et diminuer son contour. Il suffirait pour 

 cela de prendre deux points quelconques du segment convexe et 

 de substituer à l'arc qu'ils comprennent entre eux la ligne géodé- 

 sique qui leur correspond. 



Ce premier point résolu, imaginons, d'ailleurs, que la ligne 

 cherchée soit quelconque. Il s'ensuit que la courbure géodésique 

 varie généralement dun point à un autre et que, tournant partout 

 sa concavité vers \ intérieur de laire circonscrite, elle ne cesse 

 pas d'être constamment croissante sur une certaine étendue MN'. 



Prenons sur 3ÎN' deux arcs S, S' de même longueur et repré- 

 sentés respectivement, l'un par MN, l'autre par MTs'. 



