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Soit m un point quelconque de l'arc S et tu' son conjugué sur 

 fiij^ 90. rîH'C S'. Ces points sont dits conjugués parce 



■^ ^îT^^ ^1^^^ ^^s distances arcuelles Mm, M'm' sont 

 ég aies de part et d'autre. 



cos 9' , , , , , . 



et par — ;— les courbures geodesiques qui 

 correspondent respectivement l'une au point m de l'arc S, l'autre 

 au point m' de l'arc S'. Si nous posons, en général , 



cos b' , ^ cos 

 (1) =:(l-+-2y.) , 



? ? 



il est visible que la quantité y. reste toujours positive et supérieure 

 à zéro. 



Assujettissons l'arc S' à se déplacer sur la surface A, ses extré- 

 mités restant fixes et cliacun des points ([u'elles comprennent 

 entre elles glissant vers Vîntérieur de l'aire circonscrite sans 

 qu'il y ait solution de continuité. 



Soit rj). la vitesse de circulation communiquée an point quel- 

 conque m' dans le déplacement dont il s'agit pour l'arc S'. 



Opérons de même en ce qui concerne l'arc S, à cela près que le 

 point m conjugué avec le point m' glisse vers Vextériem^ de l'aire 

 circonscrite, et que sa vitesse de circulation soit égale au produit 

 (1 -\-y.)rn. 



Considérons, en premier lieu, la somme algébrique des aires 

 engendrées parles arcs S, S', dans leur déplacement simullané 

 sur la surface A. En vertu du théorème 2, elle a pour difîéren- 

 lielle 



S.M(i -\-a)rn—S'.Mrll, 



et 5 eu égard à l'égalité des longueurs totales S, S', 

 (2) S.M(u,rh). 



Cette difTérentiellc étant positive, on voit qu'elle implique, 

 comme première déduction, l'énoncé suivant : 



I/aire circoiiscrilp commence jnir augmenter. 



