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Considérons, en second lieu, la somme alîiçébriqne des difft'ren- 

 tielles, exprimées simultanément pour les points cpielconques 

 eonjugués ?>i, ni, l'une par c?.r/.s, l'autre par o.ds'. On a, daprès 

 ce qui précède, et conformément à la formule (2) du n" 227, page 

 551, 



rj . (Is = (1 -+- y.) rj'j . fis . 5 



, , eos 0' , , cosQ 

 r7.(h'=—rn.(l^' — ~ = — (1 -^ 2a) oj.fJs' 



o' ' 



1 I 



De là résulte, eu égard à l'égalité constante des quantités ds 

 et ds' 



, , ,^ , eos 



(ô) r)[({s-v-as) = — /x.rj'y.ds. • 



La somme exprimée par l'équation (Ty) est constamment néga- 

 tive pour loutc rétendue des arcs conjugués S, S'. On a donc, en 

 verlu du théoi'ème 1 , cette autre déduction: 



Le coniovr de Vatre circonscrite commence par décroître. 



Les résultats auxquels nous venons de parvenir et que nous 

 avons formulés en italiques, sont absolument généraux. Ils prou- 

 vent, pour toute ligne dont la courbure géodésique n'est point 

 uniforme, qu'on peut en diminuer la longueur et augmenter en 

 même temps l'aire qu'elle circonscrit. On en déduit, comme con- 

 séquence directe et évidente, le théorème suivant qui résout la 

 question proposée *. 



La ligne de longueur donnée, qui circonscrit une aire maximum 

 sur une surface, a même courbure géodésique en chacun de ses 

 points. 



* Ce théorème, démontré depuis longtemps dans le journal de M, Crelle, a 

 été donné plus réeommeiil pnr MM. Dolaujinyet Ossian-Honnet. 



