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 On peut dire, plus généralement, 



Les lignes dont la longueur est un minimum, par rapport aux 

 aires qu'elles limitent siir une surface ^ ont leur vourhure géodé- 

 sique constante et uniforme dans chacune des parties dont on 

 peut disposer séparément. 



232. Appliquons la marche que nous venons de suivre au cas 

 d'un segment unique S dont la courbure géodésique tournerait sa 

 convexité vers l'intérieur de Taire circonscrite. On a, en même 

 temps, pour la différentielle de l'aire engendrée, 



(4) S.M^i, 



et, pour la vitesse ^.ds, 



cos 

 (5) â.ds = — rjy.ds ? 





 I 



le déplacement ayant lieu de l'intérieur vers l'extérieur. 



On voit, par là, que riiypotlièse d'un segment convexe implique 

 la possibilité d'un changement qui diminue le contour en même 

 temps qu'il augmente l'aire circonscrite. Cette hypothèse est donc 

 inadmissible, ainsi que nous l'avons établi tout d'abord. 



Prise à part et considérée isolément, l'équation (5) fait voir que 

 la ligne tracée entre deux points sur une surface ne peut être la 

 plus courte qu'autant qu'elle satisfait partout à la condition géné- 

 rale 



cos e 



p 



Ce résultat nous ramène à la propriété connue des lignes géo- 

 désiqucs. 



S'agit-il (le la plus courte distance comprise sur une surface 

 entre un point m cl une ligne S? Soit n le point de la ligne S où 

 vient aboulir la [)lus courte distance cherchée : on sait déjà que 

 la ligne mn est une, des lignes géodésiques passant par le point m. 

 On voit, (1 ailleurs, aisément qu'elle doit tomber à angle droit sur 



