( S7I ) 



la ligne S : cela résulte implicitement des considérations précé- 

 dentes. On peut aussi le reconnaître en se représentant, d'une 

 part, toutes les lignes géodésiques issues du point m, d'autre 

 part, celle de leurs trajectoires orthogonales qui passe par le 

 point n. Les différents points de cette trajectoire étant tous équi- 

 distants du point m, il est visible que si elle coupait oblique- 

 ment la ligne S, la distance mn augmenterait ou diminuerait 

 selon qu'on déplacerait le point n dans un sens ou dans l'autre. 



Déterminée par la condition d'être géodésique et de tomber à 

 angle droit sur la ligne S, la ligne mn peut être un minimum ou 

 un maximum. En général, elle sera l'un ou lautre, suivant que la 

 courbure géodésique affectée en n par la ligne S sera moindre ou 

 plus grande que celle qui correspond à ce même point dans la 

 trajectoire orthogonale mentionnée ci-dessus *. 



S'agit-il enfin de deux lignes S , S' tracées sur une même sur- 

 face et dont on demande la plus courte distance ? Il n'est pas 

 besoin de nouveaux détails pour reconnaître que cette plus courte 

 distance doit tombera angle droit sur les lignes S, S'. La ligne 

 géodésique déterminée par cette condition peut donner, suivant 

 les cas, un maximum ou un minimum. Cela dépend, comme tout 

 à l'heure, des courbures géodésiques à considérer de part et 

 d'autre, à chacune des deux extrémités de la plus courte distance. 

 Si les différences que ces courbures présentent, en général, étaient 

 de signe contraire, la solution tomberait en défaut et cesserait ainsi 

 de correspondre, soit à un minimum, soit à un maximum pro- 

 prement dit. 



Résumant en quelques mots les détails qui précèdent et les 

 déductions du n" 251 , nous dirons : 



Les lignes de longueur minimum tracées sur une surface ont 

 même courbure géodésique en tous les points de cJiacune de leiirs 

 parties distinctes. Celte courbure est toujours nulle pour le cas 



* On ne perdra pas de vue que la courbure géodésique affeciée en n par la 

 ligne S est considérée comme positive ou comme négative selon qu'elle tourne 

 sa concavité ou sa convexité du côté du point m. 



