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254. Reportons-nous h la dernière équatiou. ElJe implique la 

 déduction suivante : 



Théorème 1. — Etant doîiné sur la surface A im segment quel- 

 conque , limité par une suite continue de points déterminés ^ ce 

 segment commence par croître ou par décroître selon fine les 

 vitesses exprimées pour chacun de ses points par la quantité 

 (J(d.dA) sont toutes positives ou toutes négatives. 



Il est un second théorème applicable au cas qui nous occupe. 

 Démontré plus loin, au n' 20^2, il s'énonce comme il suit : 



Théorème i2. — Le volume engendré par une aire qui se meut 

 avec ou sans changement de forme a pour différentielle le pro- 

 duit de cette aire par sa vitesse moyenne de circulation. 



Partons de là, et proposons-nous le problème suivant: 



Trouver la surface d'aire donnée qui circonscrit un volume 

 maximum, ou, ce qui revient au même, la surface d'aire mini- 

 mum pour un volume circonscrit de grandeur donnée. 



Comparons ce problème à celui du n" 231 , page 500 : comj)a- 

 rons, en même temps, les équations et les théorèmes qui se cor- 

 respondent de part et d'autre. Si d'un côté, pour les lignes, cest 

 leur courbure géodésique qui intervient comme principe et base 

 de solution, de l'autre, pour les surfaces, c'est leur courbure 

 moyenne qui remplit identiquement le même rôle. Cette simple 

 observation permet d étendre immédiatement aux surfaces les ré- 

 sultats obtenus pour les lignes et de les résumer, comme il suit : 



Les surfaces dont l'aire est un minimum ont même courbure 

 moyenne en tous les points de chacune de leurs parties distinctes. 

 Cette courbure est toujours nulle potir le cas du minimum absolu; 

 elle n est pas nulle, en général, pour le cas du minimum relatif. 



Ajoutons quchiucs détails ])our justifiei', s'il eji est besoin, 

 l'énoncé précédent. 



