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S'îigil-ii tl'ahord du niinhnuin absolu? Quelle que soit la surface 

 ehcreliée, si sa courbure moyenue n'est pas nulle en chaque point, 

 on peut toujours trouver sur cette surface un segment A, supposé 

 tel que la courbure moijenne /t'u change pas de signe. 



Prenons à part le segment A. Fixons-en le contour et, sans le 

 décbirer *, communiquons à ses points intérieurs des vitesses de 

 circnlalion qui les portent tous à la fois d'un seul et même côté 

 de leur lieu actuel. Selon que ce déplacement s'effectue dans l'un 

 ou l'autre des deux sens ({uil comporte, les vitesses correspon- 

 dantes 



rL{d.dA) = — Wds.d<7.^x 



sont toutes positives ou toutes négatives. Il suit de là et du théo- 

 rème 1 que le segment A commence par croître ou par décroître 

 suivant le sens qu'on attribue à son déplacement. Cette première 

 déduction implique évidemment la conclusion suivante : 



Les surfaces donl l'aire est un minimum absolu pour un con- 

 tour quelconque déterminé ont leur courbure moyenne constam- 

 ment nulle. 



S'agit-il ensuite du luinimuin relatif? On voit tout d'abord qu'il 

 ne peut y avoir sui* la surface cherchée aucun segment A dont la 

 courbure moyenne tourne sa convexité \ers Vinlérieur du xolumc 

 circonscrit. Autrement, en effet, si Ton déformait ce segment, 

 sans le déchirer, les points du contour restant fixes, et chacun des 

 autres glissant ters l'extérieur, sui\antla normale qui lui corres- 

 pond, les vitesses rj (d.dX) seraient toutes négatives. Il y aurait 

 donc à la fois augmentation du volume circonscrit et diminution 

 de l'enveloppe, ce qui, par hypothèse, est contradictoire. 



Cela posé, il suffit d'opérer, comme au n" 251, pour parvenir, 

 en ce qui touche les surfaces, aux résultats obtenus concernant les 

 lignes. 



Il sutîil jiour cela qu'il n'y ail aucun cljangemenl l)ius(iue dans les vi- 

 tesses de ciiculalion communiquées siniullanémenl aux différents points du 

 segment A. 



