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mcnls »?», m' n\ laire trapézoïdale m un m' demeure invariable. 

 De là résulte, en ee qui eoneernc les surfaees cylindriques, le théo- 

 rème suivant, facile à démontrer en toute rigueur *. 



Lorsqu'on fait glisser, les nus par rapport aux antres, les 

 segments interceptés sur les génératrices d'un cylindre entre 

 deux lignes quelconques , (chacun d'eux conservant sa longueur 

 j)rimilivc et restant sur la génératrice qui lui correspond) l'éten- 

 due de Vaire déterminée par Vensemble de ces mêmes segments 

 demeure invar icdde. 



Cela posé, soient A une surface de révolution , aa' son axe, ce 

 Fig. !^3. i"ic portion de la ligne méridienne, 



o' Prenons la ligne ce' pour section droite d'un ey- 



^C lindre dont les génératrices puissent glisser sur elles- 



^ ^' mêmes, indépendamment les unes des autres, et cela 



sans sortir du lieu qu'elles occupent dans l'espace. 



Imaginons que la surface A tourne d'un certain angle autour de 

 l'axe aa, et supposons que, ])endant cette rotation, chacun des 

 parallèles correspondant au segment ce' communique à la géné- 

 ratrice qu'il touche la vitesse de son point de contact. Il est visi- 

 ble qu'au moment où la rotation s'achève, l'arc compris, pour 

 chaque parallèle, entre le point où le contact subsistait à l'origine 

 et celui où il s'arrête, se trouve développé suivant la génératrice 

 correspondante du cylindre , et que celle-ci a glissé sur elle-même 

 d'une longueur précisément égale à cet arc. 



Désignons par E l'aire que détermine sur la surface A un con- 

 tour quelconque tracé entre les deux parallèles ca , c'a et les 

 positions extrêmes du méridien qui coïncidait d'abord avec la 

 ligne ce'. 



Tous les points de l'aire E se sont appliqués successivement 

 sur la surface cylindrique, de manière à former une série de 



Il suffit pour cola de développer sur un plan lo cylindre que Ton considère 

 et d'opérer, soit directement, soit en se fondant sur ce que Taire engendrée par 

 un segment de droite a pour ditrérentiellc le produit de ce segment par la 

 vitesse do circulation (]o son point miliou. 



