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roinic, le plan qui la contient conservant d'ailleurs une direction 

 constante. 



Donnons-nous l'aire A dans une position quelconque déterminée 

 et représentons-nous le cylindre droit dont elle est actuellement 

 la base. Soit H ce cylindre. L'aire A pouvant sortir du lieu qu'elle 

 occupe suivant deux sens directement opposés, comparons le 

 volume qu'elle engendre à celui que son plan intercepte dans le 

 cylindre H. Si ces volumes demeuraient égaux de part et d'autre, 

 on aurait, comme tout à l'heure, 



d\ = A.dz. 



En général, ils sont inégaux, et si le premier l'emporte d'abord 

 sur le second pour l'un des deux sens à considérer, l'inverse a 

 lieu pour le sens contraire. S'agit-il du sens où le premier volume 

 commence par l'emporter sur le second? La différentielle cher- 

 chée ne peut être moindre que le produit A.dz. S'agit-il du sens 

 opposé? Le premier volume commençant par être inférieur au 

 second, la différentielle cherchée ne peut être plus grande que ce 

 même produit. Mais , d'un autre côté, cette différentielle n'admet, 

 ainsi qu'on l'a vu au n" 69, page 185, pour l'un et l'autre cas, 

 qu'une seule et même valeur. On a donc nécessairement, et tou- 

 jours, 



(4) d\=:X.dz. 



De là résulte , en général , 



(5) ^Y = àz.K'^^'A, 



et l'on a le théorème suivant : 



Le volume engendré par une aire plane qui se meut dans Ves- 

 pace, avec ou sans changement de forme, et dont le plan conserve 

 une direction constante a pour mesure le produit de la valeur 

 moyenne de l'aire génératrice par ladistance que cette aire fran- 

 chit perpendiculairement à son plan. 



Ce simple théorème peut être considéré comme résolvant à lui 



