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L'équation (9) s'étend à tous les cas , l'aire dx.dy pouvant être in- 

 difréremment constante ou variable le long de l'ordonnée z. Cela 

 résulte du théorème du n° 260, page ()29. On le voit aussi en diffé- 

 renciant l'équation (8) d'après la règle établie pour le produit de 

 deux facteurs, et en observant que pour attribuer à la différen- 

 tielle cherchée sa vraie valeur, il faut opérer comme si l'ordon- 

 née z avait son origine sur la surface S : il s'ensuit, en effet, qu'on 

 doit annuler z dans le résultat de la différentiation , ce qui re- 

 vient précisément au même que si le facteur 2 était seul variable. 



La différentielle exprimée par l'équation (9) est absolument 

 générale. Elle s'applique à tout point pris comme on veut, à l'in- 

 térieur d'un solide. 



S'agit-il d'une suite de points déterminant, par leur ensemble, 

 une surface quelconque S, sortant tous à la fois des lieux qu'ils 

 occupent et glissant, chacun sur la normale f[ui lui correspond? 

 On peut pour chaque point substituer à la surface S le plan qui 

 la touche en ce point. On peut aussi mesurer les vitesses dx sui- 

 vant des lignes géodésiques dont on prendrait les trajectoires 

 orthogonales pour y porter les vitesses dy. Supposons qu'on opère 

 de cette façon et qu'on effectue le développement homalographi- 

 q-uc de la surface S, d'après le procédé décrit au n° 238 , page 025. 

 Si dans ce développement, on conserve à chaque point sa vitesse 

 de circulation repréiîentée par dz, rien n'est changé ni dans la 

 différentielle d.d.dY, ni dans aucun des trois facteurs dxy dy, 

 dz. La conséquence évidente est que l'équation (7), établie d'abord 

 pour le cas d'une aire plane et applicable, en conséquence, au 

 développement homalographiquc de la surface S , ne cesse pas de 

 subsister pour le cas d'une aire courbe dont les diff'érents points 

 se déplacent normalement à cette aire. De là résulte le théorème 

 suivant : 



Le volume engendré par vne aire qui se ment, avec ou sans 

 changement de forme, a pour différentielle le produit de cette 

 aire par sa vitesse moyenne de circtilation. 



Ce théorème comprend, comme cas particulier, celui que nous 

 avons formulé au n'' 2C0, page 629, pour le cas des aircts planes. 



