( <i<'7 ) 

 11 sViisuil que, pour snlislniro à I'(M|nntion (1^), on doit avoir 



-, cos 9 eos o' 



(17) (l =rbr;-— , 



P P 



et rcciproquement. 



On ne perdra pas de vue que l'équation (17) est subordonnée 

 à la condition ds == âx. Veut-on tout exprimer en une seule et 

 même équation ? il suffit de substituer aux vitesses d ^-^ > '^~— 

 leurs modules respectifs. Cela revient à écrire 



cos e cos I ' 



(I 



(18) 



P 



ds ^>- 



L'équation (18) remplace à la fois les équations ( I i2) et (45). Elle 

 implique, en conséquence, l'énoncé suivant : 



V. — Pour qu'un double système de lignes orthogonales rem- 

 plisse la condition \Y ^ il faut et il suffit que les vitesses, avec 

 lesquelles les courbures géodésiques variefit d partir d'un point 

 quelconque sur les lignes qui s'y croisent , aient, de part et 

 d'autre, même module (d)solu. 



On voit par là que l'équation (18) ne peut subsister pour un 

 double système de lignes orthogonales, sans subsister, en même 

 temps, pour le double système orthogonal des trajectoires à 45*^ 

 de ces mêmes lignes. Cette déduction peut s'établir à priori de la 

 manière suivante : 



SoientO un point quelconque de la surface A ; OX, OY les lignes 

 s et A issues de ce point, OX, , OY, les 

 trajectoires à 43" corrcsj)ondantes. 



Assimilons la ligne OX, à la ligne OX 

 la ligne OY, à la ligne OY, et conservons, 

 de part et d'autre, les mêmes notations, 

 en nous bornant h les accentuer lors- 

 ^^ qu'il s'ngi? de la ligne OX, an lieu de 

 la ligne OX . on de la lionne OY? nu lion de In liîçne OY. 



