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 H est visible qu'on trouverait de même , pour les secondes, 



c?/ a -t- 6 



Concluons que ces paraboles constituent un double S} stènie de 

 lignes ortliogonalcs satisfaisant à l'équation (18) et remplissant, 

 en consc(iuencc, la condition IV, Ici, d'ailleurs, se manifeste 

 d'elle-même la réciprocité établie entre ces lignes et leurs trajec- 

 toires à 45°. Il est clair, en effet, que celles-ci s'obtiennent en fai- 

 sant tourner les autres d'un angle droit. 



Vérifions, en ce qui concerne les paraboles ainsi déterminées, 

 la propriété qu'elles ont de découper le plan qui les contient en 

 quadrilatères rectangles, admettant i)Our diagonales les trajectoires 

 à 45" de ces mêmes paraboles. 



Soit le foyer commun pris pour origine des coordonnées; 

 Fiy, 3. ACD, A'C'D', BCX trois paraboles 



cboisics, comme on veut, les deux 

 premières dans l'un des systèmes 

 considérés , la troisième dans l'au- 

 tre; MCD' l'une des trajectoires à 

 45" passant par le point C: D' le 

 point de rencontre de cette trajec- 

 toire avec la branche A'C'D'; B'D'D 

 la parabole du système BC'C me- 

 née par le point D' ; D le point d'in- 

 tersection des deux branches ACD, 

 B'D'D. Tout se réduit à démontrer que la trajectoire à 45» menée 

 par le point C et représentée par NC'D passe par le point D. 



Donnons-nous les équations des paraboles ACD, A'C'D', BC'C, 

 B'D'D et représcnlons-les respectivement par 



On lrou\e aisément, pour les coordonnées du point C, 



h — a 



j^Va.h; 



