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On voit, d'ailleurs, aisément, que renoncé formulé ci -dessus 

 n'est autre chose que la traduction littérale de Téquation (:2). 



Exlension générale au cas où les grandeurs à déterminer sont 

 données comme limites de certaines sommes. 



269. En traitant, comme nous l'avons fait jusqu'ici, la question 

 générale des rectifications , quadratures et cubatures , nous avons 

 voulu faire voir comment elle se résout, indépendamment des 

 procédés fournis par la méthode des limites. Peut-être avons- 

 nous ainsi négligé quelqu'une des ressources qui, sans nous être 

 nécessaires, pouvaient néanmoins nous servir. Il est, d'ailleurs, 

 des cas où la considération des limites s'impose d'elle-même 

 comme expression directe du problème à résoudre. Obligés 

 d'aborder ces cas, nous trouverons dans la solution qui s'y appli- 

 que des éclaircissements utiles et de nouvelles facilités. 



Commençons par établir le théorème fondamental qui permet 

 de substituer les différentielles aux différences, lorsqu'on en fait 

 la somme pour un intervalle quelconque déterminé et qu'on les 

 assujettit à converger toutes ensemble vers zéro. 



Soit 



une fonction quelconque de la variable jc. On a généralement et 

 simultanément, 



(!)• • • ^y^^x.mT VWî dg=^f"{x).dx. 



^Supposons la fonction y toujours croissante dans l'inter- 

 valle ^x, et divisons cet intervalle en n parties égales *. Soit A 

 J'une de ces parties. 



Si nous appliquons, d'une part, à la valeur quelconque 



* La dénioiisUalion qui suit se lorail de la même manière si la fonction y, 

 au lieu d'êlie toujours croissante, était toujours décroissante dans Tinter- 

 valle ^œ. Elle se lerail , sans plus de dillieuilé , si la division s'elTectuail en par- 

 ties inégales, toules choses restant d'ailleurs les mêmes. 



