( ^-y-^ ) 

 Il vient donc, ciilrc tes iiicmcs limites, 



et, par suite, ainsi qu'on l'a vu tout à l'heure, 



aV 



Les angles 9 et ç^ ayant varié, l'un de o à ^tz-, l'autre de o à — , 

 le volume exprimé par la différence aV est évidemment la moitié 

 delà sphère. On a donc pour le volume total 



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205. Le cas d'un solide rap])orlé à un système de coordonnées 

 polaires, peut se traiter directement au moyen du théorème du 

 n° 202, page 032. Il suOit pour cela qu'on se donne une sphère 

 de rayon variahle, ayant son centre au pôle et qu'on prenne pour 

 aire génératrice du solide la section qui lui est commune avec la 

 surface de cette sphère. Soit A cette section : on peut écrire immé- 

 diatement 



(i) dV=A.d); 



et, par suite, 



(2) i\==M'.^C^'(A). 



De là se déduit le théorème suivant : 



Le volume engendré par une aire sphérique qui se meut dans 

 l'espace , sous la seule condition de conserver toujours un seul 

 et même centre, a pour mesure le produit de la valeur moyenne 

 de l'aire génératrice par la distance franchie suivant le rayon. 



Ce théorème comprend im})licitement celui que nous a>ons 



