4 



DEVELOPPEMENT DES FONCTIONS 



la minuscule w indiquant qu'après les dilïérentialions, il faut faire 

 x i = b i , x. 1 = b. 1 , ..., x m =b m . (s est avec;; dans une certaine relation définie 

 ainsi que nous allons le voir.) 



On a pour un nombre général s, en se servant d'une notation connue, 



ld\\ , dW , dW , 



</"\V = f/.r, -+- — — f/jr., + ■■•■*- - — <lx n 



\dr, il.r, ils,,, 



Pour que d*w=0 } quels que soient dx i} clx. 2 , ..., dx,„, chacun des termes du 



developpementsymnolique précèdent, qui sont en nombre - — 5 — = m,, 



doit être nul pour x i = b ii x i = b. 1} ..., x m — b m , ce qui exige que l'on ait 

 M, conditions de la forme 



(3) 



dUr 



dx' l dx'* . ■ dx 



-. =° («- 



-h s, -\ t- s„, = s 



En faisant successivement s== 1, 2, 3, ..., s, on voit que les conditions 

 générales (2) renferment 3I t + M 2 -f- '. . . + ^K + 2 conditions distinctes 

 et exigent que l'on prenne pour p les valeurs de la suite 



p, = M,, /;, = M, -+- M.,, p 3 = M, + M, + M 5 , .. , p, = M,-t-M 4 H 1- M 6) 



c'est-à-dire, en général, 



(4) 



m m .iii+i 

 T" 



I .2 



m . m -+- 1 ... jh -t- s — 1 

 I .2.. .s 



Pour m = 1 on aura donc p = 4, 2, 3, 

 »> m = 2 » /» = 2, 5, 9, 



». m = 3 »> p = 3, 9, 19, 



etc. 



II. Supposons a , «,, «._,, ...,« ; , + , déterminés conformément aux conditions 

 précédentes. Si l'on donne à x i} x.,, ...,x,„ les déterminations particulières 



(5) 



x, = Xi (0 . x * = Xi (i), -••» x m = pc ra (0 , 



