18 SUR UNE CLASSE 



polynômes n„, cas particuliers des polynômes P„, sont caractérisés par les 

 équations : 



/ f(x) n„n m rfa; = 0, (h ^ m). 



a 



Par exemple, les polynômes 



T„ = (l-ar)-^-"(l + *)^-<>_^ (1 _,)»+>-. (1 H-x)-t"-'], (!,„> 0), 



considérés par Jacobi, satisfont aux relations 



/ ( i — j )' - ' ( i -+- xy - ' rjjx = o ; 

 - 1 



ils sont, à pari un facteur numérique, les dénominateurs des réduites succes- 

 sives du développement en fraction continue de l'intégrale 



r l i\ — z)'-\\ + ;)*-■ 

 ,1 x — z 



-i 



Remarque I. — Entre trois polynômes Iï„, consécutifs, on a une relation 



de la forme 



»»+! = («„* -+- ''„)!'„ ■+- n„_ , (*), 



a„ et b n étant des constantes. Par suite, la formule (12) peut encore s'écrire 



f(x) f (x)dXB= (-])-' S 



?{*, 



Iti n n+1 (a,.)n'„( a< ) 



Remarque II. — La formule d'intégration (42) a le degré de précision 

 relative le plus élevé; mais le calcul des polynômes n„ et de leurs racines «, 

 devient de plus en plus pénible à mesure que n augmente. Cet inconvénient 

 est moins grand dans l'emploi des polynômes P„ et de la formule (7). On peut 

 prendre, par exemple pour le polynôme P„, n = 1, h = 2/»; P, sera alors 

 de la forme x*" — cr'". La formule (7) aura un degré de précision supérieur 

 à celui de la formule (4 2), si l'on suppose ensuite m = n; les racines «,- de 

 l'équation P, = s'obtiennent immédiatement au moyen des racines 2u'™ cs de 

 l'unité. 



(*) D'après une propriété des réduites et aussi d'après l'équation i n P„= ^, 1+ iP„-i •+- *"„1\,-h, 

 trouvée précédemment (§ 9). 



