DÉRIVÉES DES FONCTIONS DE FONCTIONS. 



15 



Comme exemple d'application de ces formules, je me propose de calculer 

 la dérivée d'ordre s de la fonction e~&. 

 On aura ici 



»y = >I'x = — x _î , x = fy=( — y)— ï 



et pour des indices généraux p et v, 



f = (l)V*. 



On aura aussi 



dtf 



d'Vy i 



_— i = e ««. 

 df 



En transportant ces valeurs dans (21) dont le déterminant numérateur a 

 d'abord été ordonné par rapport aux dérivées successives de Vy, ou trouve 

 aisément l'expression : 



(23) 



d'e *• 2' 



dx' 



I — 



nm/^yii / s _2\.-»n/ s _i\.H 



| \*1* /2\*H /.s 2V~''V* l\* H 



4l|l |2|1 1»-2|1 l« III _ 2 



|i|i («M n'-'\i ^ * —ii* 



r î(s - I) 



i' 1 ' r 2 ' 1 .. l'-'i' l'-'i' 



impair. 

 pair. 



Vérification. — Pour s = i , 2, 3, . . . par exemple, celte formule donnerait 



rfc~r> 2' 



dx 



- r = 2e"«'x- î , 



iV 



<fe~ 2* / i.i + 1 



x°e*« 



d* 3 ^l l-2(i) 5 1.2(i)' 



= e~r«(8x-'— 36x-' + 24a-- B ), 



etc ; ce qui est en effet exact. 



