SUR 



UNE CLASSE DE POLYNÔMES CONJUGUÉS. 



Soient: P , P,, P 2 , ... P„, ..., une suite de polynômes en x; Q , Q,, 

 Q 8 , ... Q„, ••• une suite de polynômes en x, des degrés 0, 1, 2, ..., n ...; f(x) 

 une fonction qui reste finie et ne change pas de signe entre les limites a, b. Je 

 supposerai que les limites a, b et les polynômes P„, Q„ sont réels. 



Si l'on a : 



f f(x)ï>„(x)Q m (x)dx = 0, (ro£n), (1) 



a 



je dirai que les polynômes P„, Q„ sont conjugués, par rapport à f(x) et aux 

 limites a, b (*). 



I. 



1 . Toute puissance entière et positive de la variable peut se mettre sous la 

 forme 



X f = « u Q -t- «,Q, -+-•••-*- a,Qj -\ -y-o- p %\ (2) 



on le démontre immédiatement, par l'identification des coefficients des mêmes 

 puissances de x dans les deux membres de la formule précédente. 



(*) La dénomination de polynômes conjugués m'a paru justifiée par la propriété suivante, 

 démontrée ci-dessous (§ 3) : étant donné (a fonction f(x) et les limites a, b, il ne peut exister 

 deux séries de polynômes Q , Q { , ... Q n ... correspondant aux polynômes P , Pj, ... P„; et 

 réciproquement. 



