4 SUR UNE CLASSE 



Au moyen de l'équation (2), on peut démontrer que l'intégrale 



f b f(x)K(x)Q n (x)dx 



est différente de zéro. 



En admettant l'inverse, on aurait, quel que soit m : 



/ f(x)P„{x)Q m (x)dx = 0. 



a 



On obtiendrait ensuite par les équations (2) : 



/ f(x)P„[x)x*dx = 0, p = 0, 1, % ...! 



a 



11 résulte de là, par un théorème de Liouville (*), que le polynôme P n (x) 

 devrait se réduire à zéro. 



Au moyen des formules (1), on voit encore que les coefficients a, de 

 l'équation (2) ont pour valeur : 



f /(«)P,Q, 



f/.r 



De même, si une fonction <p(a?) est développante entre les limites a, b, en 

 série procédant suivant les polynômes Q„, le coefficient de Q, sera : 



~p^— / flx)P (T («)*r. 



j f{x)P&dx* 



a 



Il résulte encore, des formules (1) et (2), l'égalité : 



f f(x)P„(x)X(x)dx = Q, 



a 



quand N(#) désigne un polynôme de degré inférieur à n. 



(') Démonstration d'un théorème d'analyse (Journal de Mathématiques, t. II, p. I). 



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