DE POLYNÔMES CONJUGUÉS. 5 



2. L'équation P n (x) = a au moins n racines réelles et distinctes clans 

 l'intervalle ab. 



En effet, on a d'après la formule (3) : 



f f(x) VJx = , f f(x) P„xdx = , • • • , / f(x ) P, lX "-'dx = ; 



n <* a 



d'après un théorème de Liouville (*), le polynôme P n (x) change au moins 

 n fois de signe entre les limites x = a, x = b. 



3. Etant donné la fonction f(x) et les limites a, b, il ne peut exister deux 

 séries distinctes de polynômes Q , Q, , ... Q n ..., q , q,, ... q n ... conjugués 

 des polynômes P„, P,, ... P n ... 



En effet, supposons l'inverse ; on pourra prendre pour polynôme conjugué 

 de P n , Q„ + a/j h , l n étant une constante arbitraire. 



Si l'on donne à l n une valeur telle que le coefficient de x n soit nul dans 

 Q« + Kf/n , on aura : 



Q„ -+- x n q„ = a„_ p x"- p -+- «„_ p _^a;" _ '' _, -+- ■•• -t- a,x -+- a . 



De plus, par la définition des polynômes conjugués, on a : 

 / / (*) 1 Q» -+- Kq« | P,Jx = 0, (w ^ »i). 



Soit actuellement m = n — p, la combinaison des deux dernières formules 

 donne 



a n- P j f{x)V n _ p x"- v dx -+- / f{x)V, t : p \a„_ p _ i x"-'- 1 h h u,a: -f- a Jrfx = 0. 



a a 



La seconde partie du premier membre de cette équation est nulle, d'après 

 la formule (3) : on devrait donc avoir 



»n- v = 0, ou bien / f{x)V n _ p x u - r dx = 0. 



a 



(*) Liouville, loc. cit. 



