6 SUR UNE CLASSE 



La seconde condition n'est pas admissible : on peut, en effet, la remplacer 

 par 



a 



On a par suite a n _ v = 0; les polynômes Q„ et q n ne peuvent donc différer 

 que par un facteur numérique. 



Réciproquement : il ne peut exister deux séries distinctes de poly- 

 nômes P , P,, ... P n , ...; p , Pi, ... p n , ... conjugués des polynômes Q n , par 

 rapport à f(x) et aux limites a, b. 



En effet, en désignant par e„ et »?„ des quantités numériques, on a : 



/ / (x)P„Q„rfx = f „ , /' f(x)P„Q m dx = 0, f f(.x) Pn QJx = fc , /" f(x)p n Q m dx = 0. 



o o o o 



Si Ton fait p„ = —, on a ensuite, quel que soit m : 



f f(x)Q m \P„-ii n p„\dx = 0. 



a 



On déduit de là : 



f f(x) \ P„ — P„P- | x'dx = 0, t = 0, 1 . 2 ... ! , 



a 



puis, 



4. Si l'on désigne par R l'intégrale définie : 



r"t\z)dz_ r b f{z)dzi 



J X 2 J X \ 



z z 



i H »- -r 



a: x 



/e produit RP n manque de termes en 



i i i 



~x ?' *"' ? 



