SUR UNE CLASSE 



Au moyen du développemenl (2') el de la formule (1), on obtient encore 



y^VwQ n N.(^)rfx=0 (4) 



a 



quand N,(j?) est un polynôme de degré inférieur à n. 



2° Si l'on donne la fonction f(x) et les limites a, b, les polynômes conju- 

 gués P„, Q„ne peuvent être déterminés que d'une seule manière. 



Cela résulte des propriétés démontrées plus haut (§ 3). 



D'après les formules (3) et (4), les polynômes P„, Q„ satisfont aux rela- 

 tions 



a 



f 



f{x)P n x< dx = 



/■(x)Q„x"dx = I 



(0<i<n). 



Ces équations permettront de déterminer les coefficients de P, ( el de Q„. 



On peut prouver que les polynômes P n , Q n ne se réduisent pas à zéro : il 

 suffit de montrer que les coefficients de x nk dans P„ et de x n dans Q„ ne sont 

 pas nuls. En supposant l'inverse, on aurait : 



l"t\x)dx f f(x)x k dx ■.. f f{x)x<"- l »dx 



a a a 



f f(x)xdx f f(x)x k+l dx ». f f{x)x<"- l)k +'dx 



= 0. 



f f{x)x"- l dx f f(x)x tH, - l dx - f f(x)x^ l)k+ "-'dx 



n n a 



Par suite, il existerait des constantes X , X,, ..., X„_, telles que : 



\C f{x)x'dx + a, f f{x)x k +'dx + - + K-if f{x)W**dx = 0, 



ou bien 



f /'(.r) j >„ -t- \,x k + ••• -»- >„. 1 x ( ""*ja: , '<Za: = 0... (0 ^ t < »Y 



