DE POLYNÔMES CONJUGUÉS. 9 



Il résulte de là que l'équation 



aurait n racines réelles dans l'intervalle a, b : c'est ce qui ne peut avoir lieu. 

 3° D'après ce qui précède (§ 2), l'équation P„ = a n racines distinctes, 

 comprises entre a et b; le polynôme P„ procédant suivant les puissances 

 entières de x\ on voit que les racines de l'équation P„ = sont simples et ont 

 pour modules des quantités comprises entre a et b. 



(J. 1° L'équation Q„ = a n racines réelles, distinctes et comprises entre 

 a et h. 



En effet, l'équation (4) peut s'écrire 



f h /W/ _, Q,,U"k(.i/Hiy = o, (4' 



quand on remplace* parla racine k iime dey comprise entre ael b; dans le champ 



d'intégration, la fonction fiyAy" ' conserve le même signe, d'après les sup- 

 positions indiquées plus haut. 



Cela posé, admettons pour un instant que l'équation Q„ = ait m racines 

 distinctes dans l'intervalle a, b, savoir : a l} a.,, ... a m : (m < n) ; on aura 



Q i'} ) = ( <ï - «J (/- «. ) • • • [y k - « J • n . 

 n étant un polynôme en y T , qui ne change pas de signe entre les limites 



Supposons dans la formule (4') : 



N,{/y) = {y — ai) (y — <d) - {</ — «,';,) ; 



l'intégrale 



J ''/'(.</).'/ l ^(y)Qn[J]dy 



aura tous ses éléments de même signe; cette intégrale ne peut être nulle. Par 

 suite, l'équation Q„ = a n racines réelles et distinctes comprises entre a et b. 



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