10 SUR UNE CLASSE 



5° Le produit RQ„ ne contient pus de terme en 



lit i 



En effet, soit 



' j.s + i' ,'JI+I _»» t+i 



le coefficient de-^dans RQ„ est, d'après la valeur de R (§ 4) : 



2 c p J* l\z)z(>+«dz =J [(z)Q n (z)z»dz; 



n a 



d'après l'équation (4), ce coefficient est nul, quand i est inférieur à //. 

 7. Les polynômes P„, Q„ jouissent de cette propriété que les intégrales 



C / (a ) { P. + ■ J t'„ +1 j .« 'dx et /" /'(.r) ) Q„ + JQ„ + , J x'Hlx 



n a 



sont nulles pour i = (), 1, ..., n — 1; / représente une constante arbitraire. 

 Il résulte de là que les équations 



P„ + iP„ +i = 0, Q„ + M)„ + l =o 



ont au moins n racines réelles el distinctes entre les limites « et b. 



Désignons par c k une constante non comprise dans l'intervalle a k , 1/ : le 



polynôme 



P.(x)P. + ,(e)~ P. H (x)P.(e) 



est du degré n en x k ; il satisfait aux condition* 



/ f{x)\x k — c k \p„x i d, 



x = 0, (/ < n). 



Par conséquent, p n doit être substitué à P„, quand on remplace f(x) par 

 f(x)\x k — c k \. 



