DE POLYNOMES CONJUGUES. 13 



Si Ton représente par A„ un polynôme <lu degré »(/:-- I) -f- /,-, ou a 



/„F„ = ^, + 1 F„_, -i- -„F„ + . (*) ) 

 ».P. = *. + iP.- 1 + r.P. + l i ' 



Ces formules sont analogues à celles que l'on obtient entre les dénomina- 

 teurs et entre les numérateurs de trois réduites consécutives du développe- 

 ment de R en fraction continue (**). 



L'équation (6 2 ) montre encore que deux polynômes consécutifs P„, P„_, , 

 n'ont aucun facteur algébrique commun. 



10. Les polynômes P„ donnent lieu à une formule d'approximation de 

 certaines intégrales définies 



\=J f(x) f {x)dx, 



a 



sous la forme 



ni 



I^\A, f («,.) (*"): (7) 



dans cette égalité approximative, ç-î/') représente un polynôme; a,, a,, ...a-, ...«„ 4 

 sont les racines de l'équation P„ = et les quantités A, sont des coefficients 

 numériques. 



La formule d'approximation (7) a le degré de précision nk-\-n~- \, 

 c'est-à-dire qu'elle donne la valeur exacte de l'intégrale I, quand <j>(#) est un 

 polynôme de degré inférieur à nk + n - 



En effet, on peut déterminer les nk coefficients A, de telle sorte que 

 la formule (7) soit exacte quand f(x) est un polynôme du degré nk — 1. 

 La même formule sera encore exacte pour 



? (ar) = P„, P„x, P„x 9 , ...P.*— 1 . 



(*) Les facteurs communs à F„ et à P„, s'ils existent, divisent n„ et tt„ +1 , d'après les for- 

 mules (fi 1 ). 



(*') Voir plus bas (§ 43). 



('") J'emploie le signe = pour indiquer qu'il s'agit d'une égalité approximative. 



