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SUR UNE CLASSE 



D'un autre côlé, un polynôme de degré nk -\- n — 1 peut êlre ramené à une 

 combinaison linéaire des quantités, 



p„, p„x, py, ...p„x"-', 



et à un polynôme du degré nk — 1 : la proposition énoncée résulte immé- 

 diatement de là. 



Réciproquement, si un polynôme p n de degré n par rapport à x k donne 

 lieu à une formule d'intégration (7), de précision nk-\-n — i, ce poly- 

 nôme ;;„ ne peut différer de P„ que par un facteur constant. 



En effet, en faisant dans la formule (7) 



?( x ) = P n x'{i < «)» 



on a les égalités 



f fi^Pn^dx = 0, (0 y i < n), 



qui caractérisent le polynôme P n (§ 5). 



Remarque I. — Par l'emploi de la formule d'intégration (7), on remplace 

 dans l'intégrale I, y(x) par un polynôme <t> de degré nk — 1, tel que 



?(«.-) = '»(«<). («= 1:2,3,... nk). 



De pins, l'erreur, commise par celle substitution, esl nulle quand y(x) es! un 

 polynôme de degré inférieur à nk + n. Il est facile de voir par là (pie $(V) 



a pour valeur dx) — P„xE— , si Pou désigne, suivant l'usage, par E~ la 



partie entière de f -^-. 



Remarque II. — La formule d'approximation (7) est généralement appli- 

 cable quand d\x) est une fonction (pie Ton peut développer, entre les 

 limites #=«, x = b, en série procédant suivanl les puissances entières el 

 positives de la variable. 



