4 DEMONSTRATION ELEMENTAIRE 



II. La loi suprême de Wronski consiste dans le fait en une forme 

 particulière (suite de ternies dépendants des indices p, p + 1, ^-f- 2, ...) 

 donnée au coefficient général a M de la relation indéfinie 



(5) Fx = « -+- 0|f|Z •+- » 2 (p 2 x + ■■•-+- a^^x -+ •••à l'infini. 



Parlant de cette relation indéfinie, Wronski calcule en fonction des diffé- 

 rences finies des fonctions, sous forme de suites infinies, les coefficients 

 « a, ... a , ...; il remplace ensuite dans chacun des termes de ces suites 

 les différences finies par les différentielles des fonctions. 



Suivant la remarque de M. De Tilly (*), il résulte de celte manière de 

 procéder que la loi de Wronski, tout en reproduisant, ainsi que le constate 

 un rapport célèbre de Lagrange et Lacroix, la forme des coefficients de 

 différentes formules déjà connues, n'est pas démontrée exacte, et qu'on peut 

 même affirmer qu'elle n'est pas exacte en général. 



III. Je vais d'abord faire voir que la forme remarquable donnée par 

 Wronski à ses coefficients a Q n [ ... a ... se déduit très simplement de la 

 formule (2) sans passer par le théorème compliqué dont il se sert (Philoso- 

 phie de la technie, l re section, pp. 188-222). 



D'après l'expression (2), «„«, ... a„ sont les racines du système des n -f- 1 

 équations du premier degré 



!Fx = H (puX ■+- <(|<pi£ -+-••• + «„<p„JC (tto) 

 F'j = a^x + a,<p',x -+- • • • -+- «„<p> (a,) 

 F"x = a <p|i'x -♦- a,(pjx -i- • ■ • -i- a n ylx (a„) 



où l'on fait x = a et où l'on suppose y ti x = 1. 



Prenons sur l'équation (4) les dérivées premières des deux membres et 

 divisons ensuite les deux membres de l'équation résultante par le coefficient 

 de a, dans cette équation (coefficient qui sera ici <?\x); prenons de même 

 sur cette équation ainsi transformée par la division, les dérivées premières 

 des deux membres et divisons ensuite les deux membres de l'équation résul- 



(') Bulletin fie l'Académie îles sciences de Belijique, 5 e série, t. V, n" S. 



