DÉMONSTRATION ÉLÉMENTAIRE 



multipliées. En égalant à zéro dans l'équation résultante les coefficients 

 de a F+l a u+ » ... cip+y ... a„, on obtient, pour la détermination des n — p 

 quantités à déterminer, les n — p équations du premier degré 



I — Mp)i = <P(f*V-H 



- +(ft), =<p(f»V + j-+-+(c)i<p(/* + !),«+, 



(6) 



— + (f*)» =?icWv+f((«)l?(f+ 1V+vH M(p)v i<p(fA-*-V — i)/*+v 



— +(f*).-^ =<Kf») n +*(p)i<P(f + ')„ + — + *(f»)»_i9((i+v— i)„ ->- ••• -+- +(p)„^,<p(n -1)„ 



et avec ces valeurs l'équation résultante se réduit à 



(7). . . a /l = F( fi ) -+- ^),F(m-+- 1) -*- ... -+- ^F^-t- v)-t- - -+- f(^) n _ M F(n) 



qui donne le coefficient «^ sous la forme d'une suite de termes dépendants 

 des indices p, p -f- 1> p + 2, ..., ». 



Il ne reste plus, pour avoir a u en fonction immédiate des dérivées des 

 différents ordres des fonctions F.v y,ar ^x ... <j>„x, qu'à exprimer les fonc- 

 tions auxiliaires <P(;j.).,, F(p), ou encore [à cause de (6)] f(p)„, F(i"), à l'aide 

 de ces mêmes dérivées. 



De plus, en remarquant que, d'après (b,), y(l) y y(2) v ... y^), sont 

 formés à l'aide de f y x, identiquement comme F(l) F(2) ... F(p) à l'aide 

 de Fx, on voit qu'il suffira pour avoir 9 (/*)., de remplacer Fx par y v x dans 

 l'expression de F(^). 



Expression de F(^). Si l'on faisait n = ^ dans l'équation primitive (a ), 

 elle deviendrait 



(a' t ) Fx = «i<p„x -t- a'i<p,x + ••■-+- a^çyr, 



a a\ ... a M désignant de nouveaux coefficients déterminés par les équa- 

 tions (b') [correspondantes à (h)], 



Fx = a' -+- uj(p,x -+-•••■+■ fl^tp^x 

 (b') F ('' = a ' -*-•■ + <VP0V 



F( M ) = o^ 



dans lesquelles les fonctions auxiliaires, en vertu de leur construction (b,) 



