SUR L'ÉTUDE DES ÉVÉNEMENTS ARITHMETIQUES. 



Il esl inutile, pensons-nous, de multiplier les exemples. Appelons seule- 

 ment l'attention des géomètres sur le rôle important que ces fondions 

 indicatrices Q jouent dans l'étude des faits arithmétiques. On peut étendre 

 leur signification en supposant qu'elles prennent des formes différentes 

 suivant que la variable appartient à tel ou tel système de nombres. Si le 

 produit de deux termes quelconques de Q appartient à L>, tandis que le 

 produit d'un terme de il par un terme extérieur à Q est aussi extérieur à ce 

 système, nous disons que 12 est un groupe. Il faut distinguer le groupe ouvert 

 du groupe fermé, suivant que le produit de deux termes extérieurs est tou- 

 jours intérieur ou toujours extérieur au groupe considéré. Tout autre 

 groupe est mixte, et son ouverture est mesurée par la probabilité que le 

 produit de deux termes extérieurs, pris au hasard, appartienne au groupe. 

 Il est possible que des distinctions semblables trouvent leur utilité dans la 

 théorie des substitutions : bornons-nous à observer, ici, que l'on a un 

 exemple remarquable de groupe ouvert dans le groupe alterné. On verra, 

 dans d'autres recherches, qu'il est souvent utile de faire en sorte que la 

 fonction indicatrice d'un groupe soit douée de la propriété 



Q{x)Q(y) = Q(xy). 



Alors, si Q(x) esl susceptible des valeurs a ou ,5, suivant (pie le nombre r 

 est intérieur ou extérieur au groupe, on a d'abord, par définition, a = a, 

 «/3 = /3, d'où a=\. En outre, on doit avoir aussi (? = a ou /5 2 =/5, suivant 

 que le groupe est ouvert ou fermé. Il en résulte /S = — I, dans le premier 

 cas, et ,5 = dans le second. Ainsi, la fonction indicatrice d'un groupe fermé 

 est 1 ou 0, suivant que la variable esl intérieure ou extérieure au groupe : 

 pour un groupe ouvert, la fonction indicatrice prend respectivement les 

 valeurs -f- 4 ou — -4, dans les mêmes circonstances. Dans le système des 

 quantités réelles, les quantités positives constituent un groupe ouvert. Dans 

 le système des nombres entiers, les produits de facteurs premiers, égaux ou 

 inégaux, en nombre pair, forment aussi un groupe ouvert : les carrés 

 forment un groupe mixte ; les nombres impairs, les puissances successives 

 d'un nombre premier quelconque, etc., forment autant de groupes fermés. 

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