10 SUR L'ÉTUDE DES ÉVÉNEMENTS ARITHMÉTIQUES. 



Nous avons ainsi des exemples de toutes les espèces de groupes. Enfin, 

 remarquons que les nombres communs à deux groupes constituent un nou- 

 veau groupe : si les deux groupes sont fermés, tel est aussi le groupe 

 commun. Ces systèmes particuliers de nombres jouissent de propriétés spé- 

 ciales, que nous nous promettons d'examiner, avec plus de soin, dans une 

 future communication. 



Voici, cependant, une propriété caractéristique des groupes fermés, qui 

 mérite d'être immédiatement signalée : « Pour qu'un groupe de nombres 

 soit fermé, dans le système des nombres entiers, il faut et il suffit qu'il ren- 

 ferme les diviseurs de chacun de ses éléments ». — La démonstration est 

 aisée. Cela étant, si l'on s'appuie sur les résultats de notre NoteV/</onw a 

 (aluni determinanti aritmetici, publiée dans les Comptes rendus de l'Aca- 

 démie des Lincei (4885, p. 709), et si l'on représente par u\ h.,, u-, ... les 

 éléments du groupe, préalablement rangés par ordre de grandeur croissante, 

 on peut écrire 



F(«., ",)i, = /'(«.) A»'*) Ai «.-.i ■•■/("„), 



où le premier membre représente le déterminant, de degré n, dont l'élément 

 général, aux indices i et /, est une fonction F du plus grand commun divi- 

 seur de u, et u 3 . En outre, on suppose que l'on ait toujours 



f(a) +f(b)+ /•(<;)+••• = F (n). 



Par exemple, 



l(«.. « j )\„ = f(u l )f(u t )f(u z )... .(II,,). 



ce qui généralise un théorème de Smith. 



Pour le moment, nous laisserons de côté ces questions, et nous nous 

 attacherons plus particulièrement à montrer comment les notions de fréquence 

 cl de fonction indicatrice peuvent être utilisées dans l'étude des événements 

 arithmétiques. Supposons, pour fixer les idées, que le nombre X soit uni- 

 quement susceptible de valeurs réelles, positives, et qu'il puisse toujours 

 différer, aussi peu qu'on le désire, d'une valeur positive quelconque. 

 Désignons par 3$(x) la densité des nombres X autour de la valeur x : c'est 



