SUR 



CERTAINS DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES. 



I. 



Le développement d'une fonction en série se ramène, clans la plupart îles 

 cas, à la recherche d'intégrales définies. 



Soit, en effet, une fonction <?{x), développée en série suivant les fonc- 

 tions Tu(aî), T,(#), ... , T„(#), .... de manière que l'on ait : 



<f(x) = A„T (x) + A,T,(x) + + A„T„(a;) + ... , (1) 



A , A.,, ..., A„, ... étant des constantes. 



Ordinairement, il existe une fonction $„[x) telle que Yïnlêgra\ef<p„(pc)T p (x)doc, 

 prise le long d'un certain contour ou entre certaines limites, est nulle, excepté 

 dans le cas de p = n : la série (1) étant, du reste, convergente dans tout 

 le champ d'intégration. On déterminera, par suite, la constante A„ au moyen 

 de la formule 



A _ ff{x)^ n {x)dx 



fr„(xiï„(x)dx ' 



les intégrales étant relatives au champ d'intégration dont il s'agit. 



Celte méthode est employée pour les développements en séries, suivant 

 les puissances de la variable ou suivant les polynômes X„ de Legendre; elle 

 l'est également, dans le cas des séries Irigonomélriques. 



