6 SUR CERTAINS DEVELOPPEMENTS 



Les fondions T u (x) et <p n (x) donnent encore, d'une autre manière, des 

 valeurs d'intégrales définies et des sommations de séries. 



Soient en effet, en séries convergentes pour les valeurs de x comprises 

 entre c et (/ : 



F(x) = A T (x) + A.T» +•••• + AJ„(x) + ... , 

 G(x) = B W*) + B^,(x) + ■ • • + B„4> n (x) + • • . ; 



on aura, par les équations (3) et (4) : 



/ F(x) . G(x)dx = A B„ -+- A,B, h -4-A„B„ + --- . ... (10) 



c 



Désignons par F„ une fonction de la forme 



a T (x) -t- a,T,(x) -i- ••• -4- u n T n (x), 



et représentons par $ et par f n les fonctions 



A <p„(a;) -+- A,^) h -1- A„<[>„(x) + • ■ • , 



Oo^) + «i'Î'iW -+-••• + «,,<!>,,(*)> 



conjuguées de F et de F„. 



On peut, au moyen de la formule (10), déterminer la fonction F„ par la 

 condition que l'intégrale 



c 



soit un minimum. 



En effet, on a, pour valeur de celte intégrale : 



(A — a„) ! H- (A, — «,)" +•••-+- (A„ — a„f •+- A* +1 -4- A; +2 -+-■•• 



La condition du minimum exige, par suite, que F„(#) soit la somme 

 des n -f- \ premiers termes du développement de F(#), suivant les fonc- 

 tions T„. 



