12 SUR CERTAINS DEVELOPPEMENTS 



Si Ton prend 



y = l, *F(«) = x(#), 



on a , par l'équation (24) : 



/ +1 /(a; -*- Vx ï — l) — '/(x — Vx 1 — l) 



\/__ 1 — 2zx -+- z* 



En remplaçant*^) par f(z) — f{6), on déduit facilement de là l'inté- 

 grale définie bien connue : 



tain Sa /(e 2 ' ^) - /(e-* v ~) 



A 



. 2z cos 2x -+- z* 21/ I * 



«te~#(*)--f(o)j, («<«)• (25) 



Comme application de la formule (19), soit 



,,,(*) = _ i+i-G (*)+■■.. + (- 0-'-^ -Jï g - (*) + ■■■! 



T 1.2 v »(n -4- 1) t,» 



observant que Gi iH (#) est le w iÈme polynôme de Legendre, on a : 

 D'ailleurs, 



/ 1\ 5 . 2w -t- 1 



f(*)=( 1 --)'0 + *) = —* -*-—* + ••• + (- 1) 



«(« -+- 1 ) 



Ces valeurs, substituées dans l'équation (19), donnent : 



■ 1 = U\ -t- z) (26) 



5 2 z(l -4- z) v ' y ! 



(1-2ZX-4-Z 2 ) 2 



De même, on peut poser : 



d'où : 



_:,(** <I), • • (27) 

 (1 — ;' z )(l - kz) J (i _ -2zx -+- z 2 )ïl/'l — 2fcr + fc' 



