EN SERIES. 13 



Dans le cas de y = \, on peut mettre ^(x) sous une forme différente 

 de celle de l'équation (17). 



D'après une formule de M. Catalan (*), on a : 



G, (x) = X n =-.R / 2 (2cos<)"(xcos« -+- is\nt) n dt, (28) 



le symbole R indiquant qu'il faut seulement considérer la partie réelle de 

 l'intégrale. 



On a, par suite : 



<Pi(*) = 2o A - X » = ~ 2 A " • R / ! ( 2cos 0" Ucos« + isiatj dl, 







ou bien : 



<p,(x) = -R / T /'(2xcos î « -+- ssin2t) dl, (29) 







à condition que la fonction f(z) = 2"A,^" ne soit pas discontinue, pour des 

 valeurs de z, dont le module est inférieur à 2. 

 La formule (19) conduit encore à l'égalité : 



'/'(") / + ' , Plf\ 2z cos 2 1 -4- i sin 2< j 



iii î =R./ rfx/ ''-! g-i<ft (30) 



— z ^ «/ (1 — 2zx -+- z' 2 Iî 



V. 



Considérons une classe importante de fonctions T„(a:), définies par l'égalité : 



e« = e s T^). + ï T 1 («) + ...+ i - ï -— T.(*) + ...j, . . . (31) 



a étant une quantité positive. 



(*) Mémoire sur les fonctions X„ de Legendre (Mémoires de l'Acadéhie royale de Belgique, 

 i.XXI). 



