U SUR CERTAINS DEVELOPPEMENTS 



Ces fonctions, que nous désignerons par U„(x), sont des polynômes de 

 degré /* : leurs propriétés ont été étudiées par M. Hermite (*). 

 D'après l'équation (31), on a : 



ai' An T _ ait-] 



on déduit de là, au moyen de la formule de Cauchy : 



U„(s) _ e- / e^ dz 



I> + 1) _ 2*7tt/ (z — a:)-* 1 ' 



c désignant un contour entourant le point représenté par z = x, et décrit 

 par la variable imaginaire z. Prenons pour ce contour un cercle, dont le 

 centre soit x et le rayon égal à l'unité; nous aurons : 



z = x -+- e'? , 



«-»'? « a ) A 



e-""fe 2V ; rf<p; 



oit „, 



P.(«) ,_«' / 



'(«-*- i) 271,7 



o 



et, en remplaçant r(»j+ 1) par sa valeur en intégrale définie : 



U„(x)=— / d<p/ (e-'^ye- 1 '-^-""''''^ (32) 



La comparaison des formules (7) et (32) donne : 



l[x, v t , vt) = — e -->-|. 2,v i--.«"'<, 

 2tt 



9(x,v,,v s ) = e-"''Vj, 



a, = 0, 6, = 27t, a s = 0, 6 2 = ». 



De plus, à cause des relations : 



/ e~^[\J n {x)ydx = \/ — T> -t- l)a", 



y r,+ "e-^ t, U„(x)U»rfx = 0, 



(*) Comptes rendus de l'Académie des Sciences, année 18(ii, 1" semestre. 



