J6 SUR CERTAINS DEVELOPPEMENTS 



De plus, le polynôme P„ de degré n, pour lequel l'intégrale 



e ~r[F(x)— P„] 1 



dx 



est minimum, est la somme S» = 2p= ( A,U,,(#) des n premiers termes du 

 développement de F(x), suivant les fonctions U„(#). 



Pour obtenir la valeur de celte somme S», nous nous servirons de la 

 relation connue : • 



U„ +1 (x) ■+- axV„[x) -4- anU„_,(x) = (56) 



Si nous désignons U n (x) par U„ et U„(#) par V„, nous aurons par suite : 



U„ + , -+- axU„ -1- ohU„_, = 0, 



V„ +) + ay\„ h- anV,,^ = 0; 



puis 



U„ +1 V„ - U„V„ +1 -+- a(x - 2/)U„V„ - an (U„V„_, - U^.V,.) = 0, 



ou bien, en posant : 



H »(*>2/) = ^—y ' {Ô7 Î 



U„{x, y) == «U„V„ -*■ anH n _,(x, y). 



De là résulte, par le changement de n en n — 1, . . . , n — p, ■ ■ ■ : 



H »-i(^'. Il) = «U^.V,,,, -t- a(n — I )H„_ 2 (.t, y), 

 ttn- P {x, y) = aV„_ p \„_ p -h a{n — /))II n _ p _,(x, y), 



L'élimination de H„_,,..., H„_ p) ... entre ces égalités conduit, après 

 cjuelques réductions, à la formule : 



H„(*,y) _y- a"U„- P V»- P 



