i SUM L'ÉTUDE DES ÉVÉNEMENTS ARITHMÉTIQUES 



Si Ton pose, pour abréger, 



on ii 



l=n 



(«V + ",'"P„v + „ — («V)'".l?„v = ^ "t"" ■+" 0. 



où Ton ne tient pas compte des sommes relatives aux quantités, pour les- 

 quelles deux ou plusieurs nombres x sont égaux à n. Les sommes a sont 

 essentiellement positives : si o(nv -\- p) est, clans la série 



- iiv \ il. <j(nv -t- 2), (7(»Jv -4- 5), . . , ff(wy -+■ « , 



le plus petit terme, t(vv + q) le plus grand, et si Ton pose 



/' 'i 



lilll - == a, lui) - = . . 



on a, pour w lixe et n indéfiniment croissant, 



lira -'- < [(» + 1 T - >'" P < lira ^ . 



ou bien 



Si, maintenant, on fait croître v, on trouve, à la limite, 



S = -(tfi + JF. + *»-•-• -+JFJ (M 



Ces raisonnements subsistent encore, moyennant quelques modifications 

 visibles, dans le cas où les limites « et /3 ne sont pas déterminées : il sullit 

 d'observer que les rapports £■ et | ne cessent jamais d'être compris entre 

 zéro et l'unité. 



