SUR L'ÉTUDE DES EVENEMENTS ARITHMÉTIQUES. 5 



La formule (1) a été employée, pour m = 2, dans nos Excursions 

 arithmétiques. Pour en montrer une application, assez curieuse, propo- 

 sons-nous de répondre à la question que voici : Quelle probabilité y a-t-il 

 que, dans une division quelconque, le quotient le plus approché soit le quotient 

 par défaut? Ici, la fonction Q est, si l'on veut, 



Q(j i =[x| - 



et, d'après le principe (1), la probabilité demandée est la moyenne arithmé- 

 tique des fréquences-limites des termes des deux séries 



qui donnent la valeur 1 à la fonction L>. On a 



*-:ÏIG]-|H 



ou bien, en vertu de transformations connues, 



*■— iltëH 



2n 



2i i-4- 1 



,2(1 — log2). 



Il est évident, d'ailleurs, que # a = g. Par conséquent, 



* = 2 = - - log 2 = °' 5ÎS685 " ■ 



H y a donc environ 49 à parier contre 39 que, dans une division quel- 

 conque, le quotient par excès est moins approché que le quotient par défaut. 



