SUR L'ÉTUDE DES ÉVÉNEMENTS ARITHMETIQUES. 



Avant de passer à d'autres applications du principe (1), cherchons avec 

 rigueur ce que devient la fonction Q, définie par la relation 



«Q(»W 



'[;]• 



lorsque n augmente indéfiniment, en supposant que la fonction f{x) ne puisse 

 jamais devenir infinie. En vertu de la transformation asymptotique habi- 

 tuelle, on peut écrire 



mQ(*)-2 i 



2 !A')-A«-i) 



A cause de l'hypothèse faite sur la fonction f, la première somme n'est pas 

 d'un ordre supérieur à celui de [/n : il en est de même de la quantité que 

 l'on vient à négliger dans le second membre, lorsqu'on y remplace | -- 1 par 

 -, puisque l'erreur commise sur chaque terme est finie et que le nombre 

 des termes est \/ n. D'après cela, on a 



Q(*)=2 



f{i)-f[i-\) 



On démontre, de la même manière, que si l'on pose, plus généralement, 



„-HQ» = f - 



»T 



on a 



Qr °° ) = 7 2 ^ 



?• -4- 1 S î r+ * 



Cela étant, lorsque la propriété à laquelle doit satisfaire la fraction — est 

 une propriété du plus grand nombre entier qu'elle renferme, il est aisé 

 d'exprimer p au moyen de la fonction Q, en laissant à celle-ci toute sa géné- 

 ralité. En effet, si, du système Q, on exclut zéro, on peut écrire, en premier 

 lieu, 5F 2 = ; puis : 





2 



Q(i) — Q(i—l) 



