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Dnns celle note nous dcnionlrerons d'ubord diverses formules 

 sur les combinaisons et, de l'une d'elles, nous déduirons la for- 

 mule de Laplace, sur le binôme, dont nous venons de parler. Au 

 moyen de ces formules sur les combinaisons, nous prouverons 

 analytiquemenl que la solntion de Poisson et celle de Laplace con- 

 duisent à une même valeur de la probabilité cherchée, dans le 

 cas de deux joueurs. Enfin, dans le cas d'un nombre quelconque 

 de joueurs, nous donnerons une expression de cette probabilité 

 analogue à celle que Poisson a trouvée dans le cas de deux joueurs. 



Dans ce qui suit nous aurons à considérer des produits et des 

 quotients de factorielles. Nous poserons, pour simplifier, 



1 .2.3 ....(r/-4-/y) , , 1.2.Ô {a-^b-^c) 



^^^''^= 1.2.5:. «xi.2.ô..'6' ^(«'^'^^= \:^^^y::j^,v:^^c 



et ainsi de suite, en supposant que l!25 ...k se réduise à l'unité 

 (piand /.• se réduit à vX^vo. On aura, d'après ces notations, 



r(«,o) =l,'^(a,6,o) = f{a,6) 



■f{a,b,c)— f{a,b) Xf{a-^b,c) (1). 



§ I. — Formules f-réliminaires sur les combinaisons. \ 



1. Première formule. — Soient a^h, c, m, m,, m<i, n, w,, n^y 

 ^, ^,, ^05 ■''5 '•'\')''''L^ f^ ties nombres entiers satisfaisant aux relations 



h = m ou > m c=^n ou > n , 

 m = w j -+- m.j, n =111^ -\-n^ /x =: /^, -h ^.^ ^ = v, m- v^ , 



-, r,, ^2 tl^s quantités positives plus petites que l'unité, z étant 

 égal à (z, -+- ^2)- 

 On aura 



(1 — ;y'+'"-t-» = 1 -t- (— 1) 2 f (a -h m -f- « — 1, 1) 

 -+- (— 1)-^ z- f (rt -+- w -+- n — 2, 2) H- etc. 



